我们先来复习一下陀螺进动Precession：
（1）若给一个具有角动量的刚体一个垂直角动量的力矩，其会在平面内做圆周运动，即进动（类比高中质点的圆周运动）
（2）一个本身具有角动量的刚体在改变其角动量时会产生一个回复力矩（惯性力矩与惯性力）
如图陀螺不会往下掉，而是在xy平面内旋转
我们可以看到，重力Mg对物体施加了一个垂直角动量的力矩,让其在平面内进动，我们来分析进动角速度（公转），力矩和自转角动量之间的关系。
回忆高中圆周运动的知识，我们是通过R和速度的相似关系来求出向心加速度的，这边也可以应用。
俯视图
有 $\frac{\vec{L}}{R}=\frac{\vec{dL}}{Rd\theta}$，然后根据角动量的定义式,可以推导出重要的公式 $M=\omega \times L$注意了，三者都是矢量，所以注意分解到如俯视图所在的平面，我们后面章动有应用。这里和高中的圆周运动公式有差别，高中的向心力指向圆心，速度垂直半径。而这里因为角动量指向圆心，于是力矩垂直半径。你也可以看到，物体自转角动量越大，力矩不变的情况下其进动角速度会变小.当其自转角动量为0的时候，其进动角速度为无穷大。但这显然不符合直觉，理应当停止才对，后面章动再分析。
现在我们再来研究章动方程。这回我们来先定性思考一下它的成因。
章动就是指其重力方向下也同时在做有规律的周期摆动。显然根据直觉，自然想到是因为一开始公转角速度还没有提上去，导致重力力矩使得其在竖直平面内做逆时针转动，同时仍旧在俯视平面内加角速度，当俯视平面角速度加到一定值（就是正好符合前面的公式$M=\omega \times L$算的时），因为其具有了在竖直平面内做逆时针转动的角速度，角动量守恒，所以接下来俯视平面角速度还会加速，同时向下掉的角速度减小最终为0，完成1/4个周期。（看不懂可以想象这个弹簧振子的简谐运动）
有初中物理基础就能看懂的上下震动
为什么前文的进动角速度不会是无穷大，因为刚放上去它就掉了（如图教授，想想若车轮没有转动时的情景）。前文提到物体自转角动量越大，力矩不变的情况下其进动角速度会变小，那么一开始的角速度加速过程就会变短，其章动幅度就会变小。于是，在自转角速度非常大的时候，章动完全是可以忽略的，也就是看起来悬空了。|Magic
世界名画
章动可不像进动那么好分析，解是出不来的不过那是数学的事，我只管列方程。
先研究竖直平面内的向下掉运动，下面的图我就用纸笔手绘了
初状态
我们先分析简单一点的进动，进动角速度就是图中的xy平面角， .如果要维持这个进动，那我们就必须提供一个力矩，这个力矩用我们之前的进动角速度公式来给出， 其中L=Jωcosθ_xy,M就是维持这个进动所需要的力矩，它在理论上是重力力矩的分量，接下来是章动，重力力矩的另一个分量是θ_xz的成因，于是根据定轴转动的公式，我们有重要的公式（1）注意，θ是广义角。
$mgRcos\theta_{xy}-J\omega cos\theta_{xz}\omega_{xy}=-(R^2m+J)\dot{\omega_{xz}}$
——————————（1）(PS：这个点\dot怎么这么丑)
Next，分析z轴运动，这个平面是没有重力力矩的，理应当有角动量守恒，咱不用管自转的ω，那个可以看作一个变的量（若以其方向为轴，重力和拉力的力矩都为0），有公式（2）
$(J+d^2m)\omega_{xy}cos^2\theta_{xz}R+J\omega sin\theta_{xz}=L_0$
————————（2）（若一开始没有z轴角速度，就是0
从这个也可看出，章动幅度越大，xy平面的角速度变化幅度也就越大。若一开始角动量L0就是能使其进动的角速度，那么 就完全不会变化，也就是没有章动。
这两个方程只能求其近似。当ω非常大的时候，章动角是非常小的，（1）式完全可以变成 求出进动角速度。-
