[200~本文是面向欧拉/刚体运动方程的应用，便于读者快速入门，更适合中国工科宝宝体质。
我们先不讨论接下来的几个概念的推导以及怎么想出来的，只需要记下。
Episode_1
（1）我们先来复习一下刚体的运动学，最简的的欧拉角的概念
如图
这个图很清楚，我们先规定了一般的坐标系X-Y-Z，并且并且我们把从X转向Y，Y指向Z，由Z指向X的三个转动方法为规定的正角。注意Y-Z的旋转不能等于n （n=0,1,2·····），实际分析的时候应该避免使用。
（2）质量惯性矩和惯性积
单刀直入：
大学物理的转动惯量我们都学过，定义为单位质量元乘以到轴的垂直距离的平方的积分。那么类似的，质量惯性矩就是单位质量元乘以到XYZ轴的垂直距离的平方的积分，而惯性积就是单位质量元乘以到一个轴的垂直距离再成到另一个轴的垂直距离的积分，看下面的图就很明确了：
质量惯性矩和惯性积
（3）刚体定点转动的角动量
角动量非常好计算，就是$L=m\vec{v}\times \vec{r}$ ,那么我们对刚体的每个点做这样的积分，就可以求出这个刚体绕原点的角动量辣！ $L=\int \vec{r}\times \vec v dm$当然我们不可能每次都算一次积分，想到刚刚为什么出现质量惯性矩和惯性积了吗，实际上它就是真正的转动惯量，可以证明：
$$L=I\vec{\omega}$$
这里都是矢量，而I是一个矩阵，看不懂看这个，123分别是xyz轴
添加图片注释，不超过 140 字（可选）
（PS：刚体只要转动，就肯定是绕轴转动，而一个轴只有一个角速度！！！也就是说，角速度的大小是和坐标系的选取无关的，不同的原点，你用v叉乘r算出来结果相同（除了向量的表述要改一下，但本质不变），但是角动量是有关坐标系的。不同坐标系下，惯性张量也是在不断改变）$\vec\omega=\sum\omega e_n$ n是轴的单位矢量，代表了轴的方向,所有的轴的角速度相加就是对的。
Episode__2
主角登场： $(\frac{\vec{dL}}{dt}){绝对}=\vec M=(\frac{\vec{dL}}{dt}){相对}+\vec\omega\times \vec L_{相对}$这就是欧拉方程的简洁矢量形式啦如果我们再把我们的惯性张量加进去，那个恐怖的矩阵（还好有矩阵在）我们就可以得到
$\vec M=I\vec{\dot{\omega}}+\vec\omega\times(I\vec\omega)$
是不是和我们的大物课上的 很像？对，这就是刚体力学界的伽利略变换，它的出现完全可以让我们稍稍免去计算辣个恐怖的惯性张量，他有两个天大的好处
1可以试图找到一个惯性张量不变的参考系2可以找到只有I_xx,I_yy,I_zz(I11,I22,I33)不为0的坐标轴，简称主轴坐标系。
原先的方程
吓哭了
现在的方程：
爽
总之，这是一个非常复杂的方程，不过，其实还算好的，看看隔壁麦克斯韦方程组，刚刚出来的时候也是《只要》27个分量方程（）废话咱先不多说上例子题目开造。
Episode_3
坐标系O(x-y-z)咱来看一个半径为R的圆环,圆心位于(0,R,0)的地方，不受重力而悬空，在初始时刻，其自身在绕着自己的几何中心以ω自转，同时又绕着y轴以Ω的角速度旋转（注意，这个Ω只是初始时刻！要求你预测后面的转动）
这个
由于转动，该物体相对O点的惯性张量显然是在不断改变的，为了杜绝这种问题的发生，我们可以选用刚体的主坐标系，也就是过几何中心，而且又让它中心对称的三个正交轴：e1初始位置是ex的一条直径；e2初始位置是ey的一条直径；和e3，始终垂直圆环的中心，初始位置指向z，始终是自转角速度的方向。
ok，确定相对坐标轴之后算转动惯量，因为我们选的主坐标轴，于是转动惯量缩减为三个
$I = \begin{bmatrix} I_1 & 0 & 0 \ 0 & I_2 & 0 \ 0 & 0 & I_3 \end{bmatrix} $
其中$I_1=\frac{1}{2}mR^2$
$I_2=\frac{1}{2}mR^2$
$I_3=mR^2$
再录入角速度$\vecω(t = 0s)=(0,Ω,ω)$
接下来就应用我们喜闻乐见的欧拉方程啦$\vec M=I\vec{\dot{\omega}}+\vec\omega\times(I\vec\omega)$ ，因为合外力矩为0(支持力无力矩)，分量方程变成了
$0=I\dot{\omega_1}+I\omega_2\omega_3$
$0=I\dot{\omega_2}-I\omega_1\omega_3$
$0=2I\dot\omega_3$
其中I=1/2mR^2
我已经化简过这个方程了，接下来就是解决这个方程，非常好啊！ ω_3就是我们的自转角速度，方程3看出来了，这是一个完全不变的量！所以三个方程就能化成2个方程两个未知数的一阶微分方程组
$\dotω_1=−ωω_2$和 $\dotω_2=ωω_1$这不是很美妙吗，一式两边求导，然后带入二式，可以得到一个经典的微分方程$\ddot{\omega_1}+\omega^2\omega_1=0$
带入初值并解得：$\omega_1=-\Omega sin(\omega t)$ $\omega_2=\Omega cos(\omega t)$这两个解非常完美，可以看见他们的合成是始终为Ω的，然后因为之前说过，一个角动量只对应一个旋转，而这个正好不变！，如果我们假定没有那个地面，那么它将会一边自转一边翻转，当然不是只绕着y轴
